まずは断面２次モーメントの定義から
下図のような部材断面内の微小面積要素dAに任意の直交軸からの距離の２乗を乗じたものの断面全体に対する総和を言います。
Ｙ軸方向（画面上下方向）に対する断面２次モーメントをIyとすると、下式となります。
$$Iy=\int_{}{}y^2dA$$
矩形断面の断面２次モーメント
公式で覚えてしまっている方が大半だと思いますが、先ほどの定義に沿って計算してみます。Ｙ方向の断面２次モーメントを考える際、下図のように考えることができます。X軸からの距離が等しい部分に関しては、まとめて計算することができます。微少面積をX軸方向に積分すると結果的にB×dyとなります。
右側の図からＹ方向の断面２次モーメントをあらわすと
$$Iy=\int_{-\frac{H}{2}}^{\frac{H}{2}}y^2Bdy=\left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-\frac{H}{2}}^{\frac{H}{2}}×B=[\frac{1}{3}×\{(\frac{H}{2})^3-(-\frac{H}{2})^3\}]×B=\frac{B×H^3}{12}$$
おなじみの断面２次モーメントの式になりました。
偏心した場合の断面2次モーメントの計算
証明を記載していきます。元々のＸ軸Ｙ軸と断面の図心を通るXc軸Yc軸に対して断面２次モーメントを考えます。cはセンター（center）のcという意味で付与しました。
ここで、最初の断面２次モーメントの定義に戻ります
Ｙ方向の断面２次モーメントは下式で表されるということでした。
$$Iy=\int_{}{}y^2dA$$
この式に対して
$$\begin{array}{ll}x=x_0+u \\y=y_0+v\end{array}$$
とおきます。ここではＹ方向のみを考えます。すると、下式のようになります。
$$Iy=\int_{}{}(y_0+v)^2dA$$
ここで、図心の軸Ycに対する断面２次モーメントは
$$Iy_{c}=\int_{}{}v^2dA$$
さて、Iyの式は下のように展開されていきます。
\begin{align}
Iy&=\int_{}{}(y_0+v)^2dA\\
&=\int_{}{}(y_0^2+2y_0v+v^2)dA\\
&=y_0^2\int_{}{}dA+2y_0\int_{}{}vdA+\int_{}{}v^2dA
\end{align}
ここで、
$$\int_{}{}dA=A(面積)$$
$$\int_{}{}vdA=断面1次モーメント=0(図心を通る場合)$$
となるため、Iyは、以下のように表すことが出来ます。
\begin{align}
Iy &=y_0^2\int_{}{}dA+2y_0\int_{}{}vdA+\int_{}{}v^2dA\\
&=y_0^2A+2y_0×0+Iy_{c}\\
&=y_0^2A+Iy_{c}
\end{align}
y0は 断面の図心までの距離なので、偏心している場合の断面２次モーメントは次の計算手順となることがわかりました。
ここで、”偏心している”とは、求めたい軸と断面の図心位置が異なる場合という意味で用いています。
- 求めたい軸からの断面の図心までの距離y0の2乗に断面積を掛ける
- 図心からの断面2次モーメントを求める
- 1と2の値を足す
次回は、円形断面、三角形断面等の断面２次モーメントを求める方法と、計算フォームを作成する予定です。