一般に杭を必要とする建物の表層地盤は、軟弱であることが多いです。そのため、支持地盤まで杭を伸ばして、建物を支える構造としています。
ここで問題になるのが、杭の応力の検討です。応力を検討する際には、鉛直方向の力に対する検討と、水平方向の力に対する検討が行われるのが一般的です。
鉛直方向：建物の自重を支えられること
水平方向：建物に地震力が加わった時に、杭がその時に負担する水平力に耐えうること
このほかには、杭の芯位置が上部構造の基礎芯位置と異なることによる付加曲げモーメントといった応力も発生します。
このページでは、杭の水平方向の力に対する検討の際に使用されている式について、ご紹介していきます。
弾性支承梁理論による方法
杭部材のモデル化は、下図のようになります。
杭を、曲げ剛性（ＥＩ）を有する梁部材でモデル化し、杭の応力を求めることが出来ます。
この式を用いる際の条件としては以下の項目が挙げられます。
- 杭の周りの地盤が均質であること
- 地震時の地盤変位が十分小さいこと（杭が弾性範囲の変形に収まること）
- 受動圧Pは水平変位に対して比例すること
ここで、水平地盤反力係数（単位面積当たりの地盤ばね値）を用いて
\(p(z)=k_hy\)より
$$EI\frac{d^4y}{dz^4}+k_hBy=0$$
チャン（Chang）は均一な弾性体上の無限に長い杭で回転拘束された場合の理論解を示しています。
$$
\begin{eqnarray}
y &=&e^{\beta z}(A_1\sin{\beta z}+B_1\cos{\beta z})+e^{-\beta z}(C_1\sin{\beta z}+D_1\cos{\beta z})\\
\beta &=& {(\frac{k_h\ \beta}{4EI})}^{\frac{1}{4}}
\end{eqnarray}
$$
β（1/m）：杭の特性値
A1～D1：境界条件で定まる定数
ここで、杭長が無限大と考えるとz=∞で、y=0の境界条件が与えられるので
$$y=e^{\beta z}(C_1\sin{\beta z}+D_1\cos{\beta z})=0$$
となる。（\(e^{-\beta ∞}=0\)）
その時のyは
$$y=e^{-\beta z}(C_1\sin{\beta z}+D_1\cos{\beta z})$$
さらに、杭体の回転角を\(\theta\)、曲げモーメントをM、せん断力をQとすると
$$
\begin{eqnarray}
\theta &=& \frac{dy}{dz}\\
M &=& -EI\frac{d^2y}{dz^2}\\
Q &=& -EI\frac{d^3y}{dz^3}
\end{eqnarray}
$$
これらの式から、杭の境界条件を考慮することにより、杭の応力が算定できます。
境界条件の例
杭頭回転拘束の場合：θ=0、Q=-H
杭頭自由の場合： M=0、Q=-H
これで、杭の応力が算定できそうです。