オイラーの公式の証明
オイラーの公式を以下に示します。
$${e}^{ix}=\cos{x}+{i}{・}\sin{x}$$
証明では、まず以下のような関数f(x)を考えます。
$${f(x)}=\left(\cos{x}-{i}{・}\sin{x}\right){e}^{ix}$$
関数f(x)を微分します。
$$\begin{eqnarray}
{f'(x)} &=& \left(\cos{x}-{i}\sin{x}\right){‘}{e}^{ix}+\left(\cos{x}-{i}\sin{x}\right)\left({e}^{ix}\right){’}\\
&=& \left(-\sin{x}-{i}{・}\cos{x}\right){e}^{ix}+\left(\cos{x}-{i}\sin{x}\right)\left({i}{e}^{ix}\right)\\
&=& \left(-\sin{x}-{i}{・}\cos{x}\right){e}^{ix}+\left({i}\cos{x}+\sin{x}\right)\left({e}^{ix}\right)=0
\end{eqnarray}$$
f(x)を微分すると、傾きを表すので、f(x)の傾きは0、つまり、f(x)は常に一定の値であることを意味します。
ここで、x=0のとき、f(x)は以下のとおり1になります。
$${f(0)}=\left(cos{0}+{i}\sin{0}\right){e}^{0}=1$$
f(x)は常に一定の値を取るということがわかっているため
$${f(x)}=\left(\cos{x}-{i}\sin{x}\right){e}^{ix}=1$$
ここで、上の式の両辺に、\(\left(\cos{x}+{i}\sin{x}\right)\)を乗じます。
$$\left(\cos{x}-{i}\sin{x}\right)\left(\cos{x}+{i}\sin{x}\right){e}^{ix}=\cos{x}+{i}\sin{x}$$
ここで、
$$\left(\cos{x}-{i}\sin{x}\right)\left(\cos{x}+{i}\sin{x}\right)=1$$
よってオイラーの公式
$${e}^{ix}=\cos{x}+{i}{・}\sin{x}$$
を証明できました。
マクローリン展開で証明する方法もあるようです！
以上、何かのお役に立てればと思います。
