なぜ矩形断面のせん断変形の【形状係数が1.2】なのか

建築士

RC部材の構造解析を行う際、多くの場合は、せん断変形を考慮せずに行いますが、FEM解析等で詳細検討する際やせん断変形が無視できないと思われる場合には、【形状係数k】を用います。

構造解析ソフトやRC規準を参照しても、矩形断面の形状係数が1.2(6/5)であるとの結論は書いてありますが、導出過程がなかなかわからないところでありました。

調べると、難しすぎてよく分からない部分が多かったのですが、一番腑に落ちた研究内容がありましたので、ざっくりと紹介します。

引用元:小野里健一;せん断変形を求めるための形状係数に関する研究(日本建築学会構造系論文集,第84巻,第762号)

1.せん断応力の分布

梁部材にの曲げによって生じるせん断応力τは曲げ応力σと異なり、梁の中立軸位置で最大となる非線形分布となることが知られています。

曲げ応力は中立軸位置で対象となる分布であるため、計算が簡単ですが、せん断力はそうはいきません。これが、形状係数kを用いる理由です。

2.せん断変形角とせん断応力の関係

梁断面内に生じる応力とひずみの関係式は
・せん断応力τ
・せん断ひずみγ
・せん断弾性係数G
とすると、フックの法則より、以下の式となります。

$$\tau={G}{\gamma}$$

ここで、Timoshenkoの梁理論から、曲げによって生じる最大せん断応力τmaxと平均せん断応力τmeanの比をせん断【形状係数k】と呼ばれます。

$${k}=\frac{\tau_{max}}{\tau_{mean}}$$

平均せん断応力τmean>は、梁部材の断面積Aとせん断力Qの関係から下式で表せます。

$$\tau_{mean}=\frac{Q}{A}$$

A:はりの断面積
Q:せん断力

以上から、τmaxは下式

$$\tau_{max}={k}\frac{Q}{A}$$

フックの法則の式にτmax、G、γ0をそれぞれ代入して変形すると。

$$\gamma_0=\frac{{k}{Q}}{{A}{G}}$$

となります。

3.せん断応力分布と変形の関係

曲げを受ける梁部材の、せん断応力のみによる変形は下図のようにS字となります。

せん断応力による変形で生じる部材の回転をγ0とすると左の図より

$$\gamma_0=\frac{D}{h}$$

右の微小区間のせん断変形図から

$$dD={\gamma}{dy}$$

DとdDの関係は、

$$D=\int_{-y_1}^{y_2}{dD}$$

\(\gamma=\frac{\tau}{G}\)を用いて

$$D=\frac{1}{G}\int_{-y_1}^{y_2}\tau{dy}$$

\(\gamma_0=\frac{D}{h}\)であったので

$$\gamma_0=\frac{1}{Gh}\int_{-y_1}^{y_2}\tau{dy}$$

\(\gamma_0=\frac{kQ}{AG}\)より

$$k=\frac{A}{Gh}\int_{-y_1}^{y_2}\tau{dy}$$

図のように矩形断面だとするとτの分布は

$$\tau=\frac{6Q}{bh^3}((\frac{h}{2})^2-y^2)$$

となります。

代入すると

$$k=\frac{A}{Qh}\int_{-h/2}^{h/2}\frac{6Q}{bh^3}((\frac{h}{2})^2-y^2)dy=1$$

となり、1.2となりません・・・。

実は他にも考え方があるんです。

仮想仕事法のように、内力と外力のつり合い式で解く方法です。

上図のように、微小区間のせん断力とせん断変形関係から

$$dWe=\frac{1}{2}Q\gamma_0dx$$

dWe:外力仕事

せん断応力分布τに従った変形角をγとすると、内力仕事dWi

$$dW_{i}=\frac{1}{2}\int_{-y_1}^{y_2}\tau(bdy)(\gamma{dx})=\frac{1}{2}(\int_{-y_1}^{y_2}b\tau\gamma{dy}){dx}$$

\(\gamma=\frac{\tau}{G}\)を代入すると

$$dW_{i}=\frac{1}{2G}(\int_{-y_1}^{y_2}b{\tau}^2dy)dx$$

外力仕事dWe=内力仕事dWiより

$$\frac{1}{2}Q\gamma_0dx=\frac{1}{2G}(\int_{-y_1}^{y_2}b{\tau}^2dy)dx$$
$$\gamma_0=\frac{1}{QG}\int_{-y_1}^{y^2}b{\tau}^2dy$$

\(\gamma_0=\frac{kQ}{AG}\)の関係から

$$k=\frac{A}{{Q}^2}\int_{-y_1}^{y_2}b{\tau}^2dy$$

図のような矩形断面の時\(\tau=\frac{6Q}{bh^3}((\frac{h}{2})^2-y^2)\)だったので

$$k=\frac{A}{{Q}^2}\int_{-h/2}^{h/2}b(\frac{6Q}{bh^3}{({(\frac{f}{2})}^2-{y}^2))}^2dy=\frac{6}{5}$$

矩形断面の形状係数は1.2となります。

どうやら、RC規準もこのような考え方で形状係数を決定しているということでしょうか。今後も学習を続けて、情報を発信したいと思います。ご存知の方は、コメントにてご教授の程お願い申し上げます。以上

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