【トラス機構とは?】有効断面積内の応力のつりあい

建築士

 

(RC部材の)トラス機構とは

トラス機構とは、RC柱・梁部材にせん断力を加えたときの、せん断力の内部伝達をモデル化したものです。

トラス機構とともに、アーチ機構がありますが、このページでは、トラス機構についてのみイメージをお伝えできればと思います。

トラス・アーチ機構の式

柱および梁のせん断信頼強度\(V_{u}\)は次の3式による値のうちの最小値とします。

$$\begin{eqnarray}
V_{u} &=& \mu{p}_{we}\sigma_{we}b_{e}j_{e}+(\nu\sigma_{b}-\frac{5p_{we}\sigma_{wy}}{\lambda})\frac{bD}{s}\tan{\theta} {・・・式1} \\
\\
V_{u} &=& \frac{\lambda\nu\sigma_{B}+p_{we}\sigma_{we}}{3}b_{e}j_{e} {・・・式2} \\
\\
V_{u} &=& \frac{\lambda\nu\sigma_{B}}{2}b_{e}j_{e} {・・・式3}
\end{eqnarray}$$

式の構成

式1の第2項、式2、式3はトラス機構の式を表しています。

式1の第1項はアーチ機構の式を表しています。Vuはせん断耐力です。

トラス・アーチ機構のイメージ図と式の関係

トラス機構は、鉄筋の付着力とせん断補強筋の引張力、コンクリートの斜め圧縮力が図のようにつりあう状態を表しています。

$$\begin{eqnarray}
& &(\nu\sigma_{b}-\frac{5p_{we}\sigma_{wy}}{\lambda})\frac{bD}{s}\tan{\theta}\\
\\
& &\frac{\lambda\nu\sigma_{B}+p_{we}\sigma_{we}}{3}b_{e}j_{e}\\
\\
& &\frac{\lambda\nu\sigma_{B}}{2}b_{e}j_{e}
\end{eqnarray}$$

アーチ機構は、部材全体が応力に対して抵抗している状態を表しています。

$$\mu{p}_{we}\sigma_{we}b_{e}j_{e}$$

トラス機構の応力のつりあいと式

トラス機構では、図のように、3方向の力のつりあいを考えます。

水平方向:主筋の付着力
垂直方向:せん断補強筋の耐力
斜め方向:コンクリートの圧縮力

これらのつりあいを考えると、次の式が得られます。

$${(\Sigma{a}_{w}\sigma_{w})}^2{(1+\cot^2{\phi})}={(\sigma_{t}{b}_{e}\lambda{j}_{e}\cos{\phi})}^2{・・・式4}$$

トラス機構が負担するせん断耐力Vt

垂直方向のせん断補強筋の耐力の合計はコンクリートの斜め圧縮力が横切る、せん断補強筋の耐力の合計とします。

$${V}_{t}=\Sigma{a}_{w}{\sigma}_{wy}={p}_{we}{\sigma}_{wy}{b}_{e}{j}_{e}{\cot{\phi}}{・・・式5}$$

σwy:せん断補強筋の降伏耐力
pwe:せん断補強筋比
bejecotφ:圧縮力が横切るせん断補強筋の断面積

トラス機構の基本式

式4を式5に代入します。ここで

$${(\frac{\cot{\phi}}{\cos{\phi}})}^2=\frac{1}{\sin^2{\phi}}=1+\cot^2{\phi}$$

を利用して整理します。

$$1+\cot^2{\phi}=\frac{\lambda\sigma_{t}}{p_{we}\sigma_{wy}}{・・・式6}$$

σt:コンクリートの斜め圧縮応力です。トラス機構の式はコンクリートが圧縮破壊を起こさないことを前提としていますので、コンクリートの圧縮強度をν0σBを超えないことを考慮すると、式6は次のように表すことができます。

$$1+\cot^2{\phi}=\frac{\lambda\sigma_{t}}{p_{we}\sigma_{wy}}{≦}\frac{\lambda\nu_{0}\sigma_{B}}{p_{we}\sigma_{wy}}$$

$$\cot{\phi}{≦}\sqrt{\frac{\lambda\nu_0\sigma_{B}}{p_{we}\sigma_{wy}-1}}{・・・式7}$$

トラス機構によるせん断力負担

式5に式6と式7を代入すると、トラス機構のせん断力負担は、次式の内最小値で与えられます。

$$\begin{eqnarray}
{V}_{T} &=& 2{p}_{we}\sigma_{wy}{b}_{e}{J}_{e}{・・・式8}\\
\\
{V}_{t} &=& {p}_{we}\sigma_{wy}{b}_{e}{j}_{e}\sqrt{\lambda\nu_{0}\sigma_{B}}{p_{we}\sigma_{wy}}-1{・・・式9}
\end{eqnarray}$$

これらをグラフで表すと、次のようになります。

点Aの導出方法

式8は、式7にcotφ=2を代入することで得られます。つまり、コンクリート強度の方が、トラス機構に働く圧縮力の方が大きいという条件の時に成り立つ範囲のことを差します。

ここで、cotφは大きくなるほど応力伝達が困難になるため、cotφ=2が上限とされています。

$$\begin{eqnarray}
\cot{\phi} & {≦}& \sqrt{\frac{\lambda\nu_{0}\sigma_{B}}{p_{we}\sigma_{wy}-1}}\\
\\
2 &{≦}& \sqrt{\frac{\lambda\nu_{0}\sigma_{B}}{p_{we}\sigma_{wy}-1}}\\
\\
5 &{≦}& \frac{\lambda\nu_{0}\sigma_{B}}{p_{we}\sigma_{wy}}\\
\\
\frac{\lambda}{5} &{≦}& \frac{\nu_{0}\sigma_{B}}{p_{we}\sigma_{wy}}
\end{eqnarray}$$

点Bの導出方法

式9を変形させると、円を表す式となります。

$$\begin{eqnarray}
{V}_{t} &=& {p}_{we}\sigma_{wy}{b}_{e}{j}_{e}\sqrt{\lambda\nu_{0}\sigma_{B}}{p_{we}\sigma_{wy}}-1\\
\\
\frac{{{V}_{t}}^2}{({{p}_{we}\sigma_{wy}{b}_{e}{j}_{e})}^2} &=& \frac{\lambda\nu_{0}\sigma_{B}}{p_{we}\sigma_{wy}}-1
\end{eqnarray}$$

ここで、のちに円のグラフで表しやすくするために、式を変形させます。

$${V_{t}}^2+{(\nu_{0}\sigma_{B}{b}_{e}{j}_{e})}^2{(\frac{p_{we}\sigma_{wy}}{\nu_{0}\sigma_{B}})}^2={(\nu_{0}\sigma_{B}{b}_{e}{j}_{e})}^2\frac{\lambda{p_{we}\sigma_{wy}}}{\nu_{0}\sigma_{B}{b}_{e}{j}_{e}}$$

ここで、\({(\nu_{0}\sigma_{B}{b}_{e}{j}_{e})}^2\)を\(\alpha\)とおきます。

$${V_{t}}^2+{\alpha}^2{(\frac{p_{we}\sigma_{wy}}{\nu_{0}\sigma_{B}})}^2={\alpha}^2{\frac{\lambda{p_{we}\sigma_{wy}}}{\nu_{0}\sigma_{B}{b}_{e}{j}_{e}}}$$

さらに、\(\frac{p_{we}\sigma_{wy}}{\nu_{0}\sigma_{B}}=x\)、\(V_{t}=y\)とおくと

$${y}^2={\alpha}^2x{(\lambda-x)}$$

と表すことができます。この式は、x=0,1のときy=0、x=λ/2のときyは最大と最少をとるだ円を表す式です。

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